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Science 15. Oktober 2016

Warum 0,999... das Gleiche wie 1 ist
Ist die periodische Zahl 0,999… das Gleiche wie 1? Eine Frage, die auf den ersten Blick etwas absurd wirkt, doch stellt man sich die Frage erneut, klingt sie durchaus plausibel. In diesem Artikel machen wir uns auf den Weg, um den Beweis zu finden.

Lösungen die keine sind

Als eine erste Begründung dafür, dass 0,999… = 1 ist, kann man Folgendes betrachten:
0,333… = 1/3
0,666… = 2/3
folglich müsste dann
0,999… = 3/3 = 1
sein.
Dem würden viele zustimmen, jedoch reicht dies nicht als Beweis aus, da sich ja nun die selbe Frage für 1/3 und 2/3 ergibt. Also ob die Zahlen wirklich der genannten Periode entsprechen.

Ein ähnlicher Ansatz, der erneut Fragen aufwirft wäre:
1-0,999… = 1-1
Das Ergebnis für 1-1 ist logisch, doch was ergibt sich für die linke Seite?! Dort würde 0,000… stehen und nach unendlich vielen Stellen käme eine 1. Eine Antwort auf unsere Frage finden wir hier also ebenfalls nicht.

Die "echten" Beweise

Nun geben wir unserer Zahl das Symbol x
x=0,999...
und schreiben es als eine Folge auf.
a1 = 0,9
a2 = 0,99
a3 = 0,999
...
...
an =
Diese Folge nähert sich immer mehr der Zahl 1 an, je größer n wird. Die Zahl konvergiert gegen 1. Im selben Schritt beschreibt unser x (0,999...) eine Zahl, die ebenfalls durch die Folge von an beschrieben werden kann. Selfhtml
an konvergiert also sowohl gegen 1 als auch gegen unser x, weshalb 0,999… = 1 gelten muss.

Eine andere Möglichkeit stellt die simple Umformung dar. So können wir schreiben:
x= 0,999...
=> 10·x = 9.999...
=> 10·x – 1*x = 9,999… - 0,999…
=> 9·x = 9
=> x = 1
=> 0,999… = 1
Damit wäre bewiesen, dass beides gleich ist.

Eine weitere Möglichkeit, bei der man über die Definition von Gleichheit gehen kann, wäre wie folgt. Gleichheit liegt vor, wenn es keine Zahl zwischen x und y gibt. Nun sollte einem auffallen, dass es unmöglich ist, zwischen 0,999… und 1 noch eine Zahl zu finden, weshalb die beiden gleich sein müssen.

Als Fazit auf unsere Frage kann man also sagen: Es lässt sich durch mathematische Rechnungen zeigen, dass 0,999... = 1 ist. Folglich muss
0,333… = 1/3
0,666… = 2/3
0,999… = 3/3 = 1
ebenfalls gelten.


Marcus Willner | Founder 376 Wörter


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